【几何分布的期望和方差是什么】在概率论与数理统计中，几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。几何分布有两个常见的定义方式：一种是表示首次成功发生在第k次试验的概率，另一种是表示在首次成功前失败的次数。本文将基于第一种定义进行说明。
一、几何分布的基本概念
设随机变量 $ X $ 表示首次成功发生的试验次数，其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots
$$
其中，$ p $ 是每次试验成功的概率（$ 0 < p < 1 $）。
二、几何分布的期望与方差
几何分布的期望和方差是衡量该分布集中趋势和离散程度的重要参数。以下是其数学表达式：
| 参数 | 公式 | 解释 |
| 期望 $ E(X) $ | $ \frac{1}{p} $ | 首次成功所需的平均试验次数 |
| 方差 $ Var(X) $ | $ \frac{1 - p}{p^2} $ | 反映首次成功次数的波动程度 |
三、总结
几何分布常用于建模“首次成功需要多少次尝试”的问题，例如：
- 投掷硬币直到出现正面；
- 顾客第一次购买产品的时间；
- 某个事件第一次发生所需的时间等。
它的期望值反映了平均需要多少次试验才能获得一次成功，而方差则表明了这种成功时间的不确定性。
通过理解几何分布的期望和方差，我们可以更好地预测和分析实际生活中的随机事件。
表格总结：
| 项目 | 数学表达式 | 说明 |
| 期望 $ E(X) $ | $ \frac{1}{p} $ | 首次成功所需的平均试验次数 |
| 方差 $ Var(X) $ | $ \frac{1 - p}{p^2} $ | 首次成功次数的离散程度 |
通过以上内容，我们对几何分布的期望和方差有了清晰的认识。这些数值可以帮助我们在实际问题中做出更准确的概率判断和决策。