【不等式公式】在数学中，不等式是表达两个数或代数式之间大小关系的式子。与等式不同，不等式使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示变量之间的不等关系。掌握常见的不等式公式对于解决实际问题、优化问题以及数学分析都具有重要意义。
以下是对常见不等式公式的总结：
一、基本不等式公式
| 不等式类型 | 公式 | 说明 | ||||||
| 非负性 | $ a^2 \geq 0 $ | 任何实数的平方非负 | ||||||
| 绝对值不等式 | $ | a | \geq 0 $ | 绝对值总是非负 | ||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 向量或实数的绝对值满足三角不等式 |
| 倒数不等式 | 若 $ a > 0 $，则 $ \frac{1}{a} > 0 $ | 正数的倒数仍为正数 |
二、均值不等式（重要）
| 不等式名称 | 公式 | 条件 | 说明 |
| 算术-几何平均不等式（AM-GM） | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | $ a_i > 0 $ | 当且仅当所有 $ a_i $ 相等时取等号 |
| 调和-几何平均不等式 | $ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | $ a_i > 0 $ | 与 AM-GM 相关 |
| 平方平均-算术平均不等式（QM-AM） | $ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} $ | $ a_i $ 为实数 | 表示平方平均大于等于算术平均 |
三、其他常用不等式
| 不等式名称 | 公式 | 说明 |
| 柯西不等式（Cauchy-Schwarz） | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 对于任意实数序列成立 |
| 伯努利不等式 | $ (1 + x)^r \geq 1 + rx $（当 $ x \geq -1, r \geq 1 $） | 用于近似计算或证明 |
| 琴生不等式（Jensen） | 若 $ f $ 是凸函数，则 $ f\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \leq \frac{\sum a_i f(x_i)}{\sum a_i} $ | 适用于凸函数或凹函数 |
四、不等式应用举例
1. 最优化问题：如在资源有限的情况下，如何分配才能使收益最大，常需利用不等式约束条件。
2. 误差估计：在数值分析中，不等式可用于估计计算结果的误差范围。
3. 概率论：马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等用于概率分布的性质分析。
总结
不等式是数学中的重要工具，广泛应用于代数、几何、分析、优化等多个领域。掌握常见的不等式公式不仅有助于提高解题效率，还能增强逻辑思维能力。在实际应用中，合理选择和运用合适的不等式公式，往往能起到事半功倍的效果。