【基本不等式公式】在数学中，基本不等式是解决许多代数问题的重要工具，尤其在求极值、证明不等式和优化问题中具有广泛应用。基本不等式主要包括均值不等式（AM-GM不等式）以及一些常见的变形形式。以下是对这些公式的总结与整理。
一、基本不等式概述
基本不等式通常指的是在正实数范围内成立的不等式关系，其中最著名的是算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）。该不等式表明：对于任意两个非负实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ a = b $ 时，等号成立。
此外，还有更广泛的版本适用于多个数，如三个或更多数的均值不等式。
二、常见基本不等式公式汇总
| 不等式名称 | 公式 | 条件 | 等号成立条件 |
| 算术平均-几何平均不等式（AM-GM） | $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ | $a, b \geq 0$ | $a = b$ |
| 三元均值不等式 | $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ | $a, b, c \geq 0$ | $a = b = c$ |
| 四元均值不等式 | $\frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}$ | $a, b, c, d \geq 0$ | $a = b = c = d$ |
| 二次不等式 | $a^2 + b^2 \geq 2ab$ | $a, b \in \mathbb{R}$ | $a = b$ |
| 分式不等式 | $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ | $a, b > 0$ | $a = b$ |
| 对称不等式 | $(a + b)(a - b) \leq a^2 + b^2$ | $a, b \in \mathbb{R}$ | 永远不等号成立（严格小于） |
三、应用举例
1. 求最小值
已知 $ x > 0 $，求 $ x + \frac{1}{x} $ 的最小值。
使用 AM-GM 不等式：
$$
x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2
$$
当且仅当 $ x = 1 $ 时取到最小值 2。
2. 比较大小
比较 $ \frac{a + b}{2} $ 与 $ \sqrt{ab} $ 的大小。
根据 AM-GM 不等式，显然 $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $。
3. 证明不等式
证明 $ a^2 + b^2 \geq 2ab $。
可以写成 $ a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0 $，因此原式成立。
四、注意事项
- 所有基本不等式都要求变量为非负实数（除非特别说明），否则可能不成立。
- 在使用不等式时，要注意等号成立的条件，这有助于判断是否可以取到极值。
- 实际应用中，常将不等式与其他代数技巧结合使用，例如配方法、换元法等。
五、总结
基本不等式是数学中的基础内容之一，掌握其形式和适用范围对解决实际问题非常有帮助。通过表格形式可以清晰地看到各类不等式的结构、条件及等号成立情况。在学习过程中，建议多做练习题，熟练掌握其应用方式，提高解题效率与准确率。