【x sup2 e的x次方的积分】在数学中，求解像 $ x^2 e^x $ 这类函数的积分是常见的问题。这类积分通常需要使用分部积分法（Integration by Parts），因为直接积分无法轻易得出结果。本文将对 $ \int x^2 e^x \, dx $ 的计算过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、积分方法概述
对于形如 $ \int x^n e^x \, dx $ 的积分，常用的方法是分部积分法，其公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在本题中，我们设：
- $ u = x^2 $
- $ dv = e^x dx $
则：
- $ du = 2x \, dx $
- $ v = e^x $
代入分部积分公式：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx
$$
接下来，对 $ \int 2x e^x \, dx $ 再次应用分部积分法。
二、分步计算过程
| 步骤 | 积分表达式 | 设定 | 计算 | 结果 |
| 1 | $ \int x^2 e^x \, dx $ | $ u = x^2, dv = e^x dx $ | $ du = 2x dx, v = e^x $ | $ x^2 e^x - \int 2x e^x dx $ |
| 2 | $ \int 2x e^x dx $ | $ u = 2x, dv = e^x dx $ | $ du = 2 dx, v = e^x $ | $ 2x e^x - \int 2 e^x dx $ |
| 3 | $ \int 2 e^x dx $ | 直接积分 | — | $ 2 e^x + C $ |
将第2步的结果代入第1步：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - [2x e^x - 2 e^x] + C
$$
整理后得到：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C
$$
三、最终答案
$$
\int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
四、总结
通过多次应用分部积分法，我们可以逐步求解 $ \int x^2 e^x \, dx $。整个过程虽然繁琐，但逻辑清晰，适合用于教学或复习。掌握这种技巧有助于处理类似的高阶指数乘多项式积分问题。
表格总结：
| 阶段 | 积分表达式 | 分部设定 | 计算结果 |
| 第一次分部 | $ \int x^2 e^x dx $ | $ u = x^2, dv = e^x dx $ | $ x^2 e^x - \int 2x e^x dx $ |
| 第二次分部 | $ \int 2x e^x dx $ | $ u = 2x, dv = e^x dx $ | $ 2x e^x - \int 2 e^x dx $ |
| 最终结果 | — | — | $ e^x (x^2 - 2x + 2) + C $ |
通过以上分析与表格展示，可以清晰地看到 $ x^2 e^x $ 的积分过程和最终结果。这种系统化的梳理方式有助于加深理解并减少计算错误。